Anem a suposar que tenim una fracció racional com la següent:

on el denominador està format per un producte d'espressions de la forma $x-a$(en aquest cas, seria $\left(x-0\right)\cdot \left(x-1\right)\cdot \left(x+2\right)$). En primer lloc estudiarem el cas en el que les tres expressions anteriors no estan elevades a cap potència distinta de 1. És a dir, no contemplem ací el cas en el qual siga, per exemple $x^3\cdot \left(x-1\right)\cdot (x+2{)}^2$ . A més, suposarem $x\ne 0$. Per què?

El nostre problema va a consistir en trobar tres coeficients $A,B,C,$ de manera que complisquen:

Per a fer això, multipliquem els dos membres de la igualtat anterior per $x\cdot \left(x-1\right)\cdot \left(x+2\right)$ obtenint la següent igualtat equivalent:

$x+3=A\left(x-1\right)\left(x+2\right)+Bx\left(x+2\right)+Cx\left(x-1\right)\left(2\right)$

---

Tenim dos procediments per a obtenir els coeficients:

---

En primer lloc, si desenvolupem el segon membre de la igualtat (2), obtenim:

És a dir, $x+3=\left(A+B+C\right)x^2+\left(A+2B-C\right)x-2A$

Anem a identificar els coeficients.

En la part esquerra de la igualtat anterior no hi ha terme en $x²$, així que ha de ser:

En la part esquerra de la mateixa igualtat hi ha un terme en $x,$ el seu coeficient és 1, de manera que hem de tenir:

Finalment, el terme en $x^0$ és 3, la qual cosa ens porta a que:

Per tant, $A=-\frac{3}{2}$, valor que substituit en (3) y (4), ens proporcionarà els coeficients que falten:

Sumant les equacions anteriors, tenim $-\frac{6}{2}+3B=1,$ quedant $3B=1+\frac{6}{2}=\frac{8}{2}=4⟹B=\frac{4}{3}$,

Finalment, tenim $C=\frac{3}{2}-\frac{4}{3}=\frac{9}{6}-\frac{8}{6}=\frac{1}{6}$

---

En quan a l'altre procediment, podem posar ací la igualtat

Donant a la variable $x$ el valor 1, la igualtat (2) queda:

$4=3B,$ i, per tant $B=\frac{4}{3}$

Si donem a $x$ el valor -2, tenim:

$1=C\left(-2\right)\left(-2-1\right),$ de manera que $C=\frac{1}{6}$

Finalment donant-li a la $x$ el valor 0 (la qual cosa ací es pot fer perquè en la expressió (2) no apareix la $x$en el denominador), tenim:

---

Observacions:

(1) En la pràctica a voltes fa falta una combinació dels dos procediments, com vorem en altres entrades.

(2) El métode ens permet posar una fracció racional com una suma (algebraica) de fraccions racionals més simples, de manera que pugam integrar-la més fàcilment.

(3) La fracció racional hi ha voltes en les que no es presenta com ací $\frac{x+3}{x\cdot \left(x-1\right)\cdot \left(x+2\right)},$sinò com $\frac{x+3}{x³+x²-2x}$. Les dos fraccions són la mateixa però si ens la donen sense factoritzar el denominador hi hauria que factoritzar-lo per tal de poder aplicar el métode.