Equacions amb nombres complexos.

(1) Resoldre la següent equació en

x (x \in R)

, on

i = \sqrt{- 1}

, i, per tant,

i^{2} = - 1

:

\frac{x + i}{1 + i} = 2 - i

(2) Resoldre l'equació en

z (z \in C)

, on

i = \sqrt{- 1}

:

3 z - i = 1

(3) Dibuixar els afixos de les solucions a les equacions:

x^{2} + 1 = 0

x^{2} - 1 = 0

x^{2} + 9 = 0

(1) De l'equació:

\frac{x + i}{1 + i} = 2 - i

, tenim que, multiplicant els dos membres pel denominador

1 + i

, obtenim:

x + i = (2 - i) (1 + i) = 2 + 2 i - i - i^{2} = 2 + i - (- 1)

En la línia anterior s'ha sumat

2 i - i = i

, i hem sustituit

i^{2}

per

(- 1)

. Seguim,

x + i = (2 - i) (1 + i) = 2 + 2 i - i - i^{2} = 2 + i - (- 1) = 2 + i + 1 = 3 + i

i, mirant la cadena de igualtats anterior, igualant el primer terme amb l'últim, ens queda:

x + i = 3 + i

Restant ara als dos membres la constant

i

, resulta

x = 3

Una comprovació ràpida que

x = 3

és la solució. Si posem aquest valor de

x

en

\frac{x + i}{1 + i}

, fent la divisió dels dos nombres complexos, ens hauria de donar

= 2 - i

. Recordem que aquesta divisió es fa multiplicant numerador i denominador per la conjugada del denominador. Tenim:

\frac{3 + i}{1 + i} = \frac{(3 + i) (1 - i)}{(1 + i) (1 - i)} = \frac{3 - 3 i + i - i^{2}}{1^{2} - i^{2}} = \frac{3 - 3 i + i - (- 1)}{1 - (- 1)} = \frac{3 + 1 - 3 i + i}{2} = \frac{4 - 2 i}{2} = 2 - i

(2) Tenim ara l'equació

3 z - i = 1.

Com que

z \in C

podem posar

z = x + i y,

on

x

i

y

són reals. Sustituint en l'equació tenim:

3 (x + i y) - i = 1.

Fent operacions, tenim:

3 x + 3 i y - i = 1.

Podem ara agrupar per separat els termes reals i els imaginaris:

3 x = 1

(És la part real de l'equació). D'ací obtenim que

x = \frac{1}{3}

3 y i - i = 0

(La part imaginària) D'ací obtenim

3 i y = i,

i dividint els dos membres per

i

(cosa que es pot fer perquè

i

és la unitat imaginària i per tant distinta de zero), tenim

3 y = \frac{i}{i} = 1,

i, per tant,

y = \frac{1}{3} .

La solució a l'equació és

z = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} i .

(3) De l'equació

x^{2} + 1 = 0

, obtenim

x^{2} = - 1

, i, per tant, aïllant la

x

ens queda:

x = \pm \sqrt{- 1}

, és a dir,

x = \pm i

. Els afixos estan en un eix de coordenades

(X, Y)

en els punts

- i (0, - 1)

i

i (0, 1) .

Per altra banda si

x^{2} - 1 = 0

, tenim:

x^{2} = 1

, la qual cosa ens porta a

x = \pm \sqrt{1} = \pm 1

. Els afixos són

(- 1, 0)

i

(1, 0)

.

Resulta senzill obtindre ara els afixos solucions de l'equació

x^{2} + 9 = 0

, així com representar gràficament tots aquests punts, tasca aquesta que la deixem a qui llegeixca aquestes línies.

Pràctiques de resolució d'equacions on intervenen nombres complexos.

Pràctiques d'equacions amb nombres complexos on $x \in R$ :

Pràctiques d'equacions amb nombres complexos on $z \in C$ (Dibuixar els afixos de les solucions).

Pràctiques de resolució d'equacions on intervenen nombres complexos.

Pràctiques d'equacions amb nombres complexos on x ∈ R :

Pràctiques d'equacions amb nombres complexos on z ∈ C (Dibuixar els afixos de les solucions).

Pràctiques d'equacions amb nombres complexos on $x \in R$ :

Pràctiques d'equacions amb nombres complexos on $z \in C$ (Dibuixar els afixos de les solucions).