Siga, per exemple, la matriu:

Si tenim qualsevol matriu $A$, anomenem component ij de la matriu al nombre (escalar) que hi ha en la intersecció de la fila i amb la columna j; per exemple $a_{11}=1;a_{14}=-2;a_{24=6};a_{33}=10,$ etc.

A més a més, anomenem menor d'ordre $n$ al determinant de qualsevol matriu quadrada d'ordre $n$ que puga formar-se amb els components de $A,$ de la manera que vorem a continuació valent-se d'alguns exemples:

Adelantem ja que el rang d'aquesta matriu serà l'ordre del menor més gran que no siga nul.

Emprarem la notació $\left|\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right|$ per a indicar el determinant del component $a_{ij}$.

Com que $a_{ij}$ és un nombre, $\left|\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right|=a_{ij}$, per exemple $\left|\begin{array}{c}1\end{array}\right|=1,$ $\left|\begin{array}{c}-1\end{array}\right|=-1,$$\left|\begin{array}{c}10\end{array}\right|=10,$ $\left|\begin{array}{c}0\end{array}\right|=0,$ són exemples de menors d'ordre 1.

Evidentment, es poden formar tants determinants d'ordre 1 com components escalars té la matriu; en aquest cas, 15 determinants es poden formar. Basta que qualsevol d'eixos determinants siga distint de zero per a poder dir que $A$ té al menys un menor d'ordre 1 distint de zero.

Fins al moment sabem que el rang de la matriu $A$ és $\ge 1,$ ja que hem vist alguns menors d'ordre 1 que tenen valors distints de 0.

Un menor d'ordre 2 és el determinant d'una submatriu de $A$, $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$ en la qual es compleix que $a$ i $b$ estan en la mateixa fila de la matriu $A;$ $c$ i $d$ estan en la mateixa fila de $A;$ $a$ i $c$ estan en la mateixa columna de $A;$ $b$ i $d$ estan en la mateixa columna de $A$.

Exemples de menors d'ordre 2 són. $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right|=1\cdot \left(-1\right)-2\cdot 0=-1;$ $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -1\end{array}\right|=1\cdot \left(-1\right)-2\cdot 3=-1-6=-7;$$\left|\begin{array}{cc}-1& 6\\ 1& 0\end{array}\right|=6.$

Com que al menys 1 d'aquestos menors és distint de 0, deduim que el rang de $A$és $\ge 2$.

Una questió interessant (per què?) és saber quants menors d'ordre 2 es poden formar a partir, per exemple de la matriu $A\mathrm{.}$ Pot ser que només l'últim de tots els que calculem siga distint de zero. Mala sort, no? Tornarém sobre aixó més endavant.

Seguint el mètode, veiem que els determinants d'ordre 3 serien, calculant per la regla de Sarrús. (només explicite el primer determinant, els altres els deixe com a pràctiques per al lector).

$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 2& -1& 1\\ 1& 10& -1\end{array}\right|=0$

Com que al menys un dels menors d'ordre 3 és distint de 0, resulta que rang$\left(A\right)=3,$ ja que la matriu $A$ no té menors d'ordre superior a 3. Per què?- El màxim ordre d'un menor d'una matriu de $p$ files i $q$ columnes és $n=$max$\left(p,q\right)$.

La estratègia a seguir és anar formant sistematicament per a cada ordre $n$ tots els menors d'eixe ordre que es poden formar, i calcular els determinats fins trobar un d'ells que siga distint de zero. Si el trobem, concluim que el rang de $A$és $\ge n,$ i seguim el mateix procés per als d'ordre $n+1.$

Tornem ara a prestar atenció al problema de determinar quants menors d'ordre $n$ es poden formar.

En el cas que hem vist podem formar 10 menors d'ordre 3. Per què? De 5 columnes de la matriu $A$:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 10\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$, hem de formar totes les matrius possibles de tres files i tres columnes per a calcular cada determinant. Això són combinacions de 5 elements agafats de 3 en 3. I quàntes són les matrius possibles?

Son exàctament $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{5!}{3!\cdot \left(5-3\right)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4}{2}=\frac{20}{2}=10$ matrius distintes, els determinants de les quals estan calculats línies amunt.

Quants menors d'ordre 2 es poden formar de la matriu $A?$ De les 5 columnes de la matriu $A$ que es poden formar amb les files 1 i 2 d'aquesta matriu tenim les submatrius columna:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$; ens eixen $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=15$ menors.

Per altra banda, de les 5 columnes de la matriu $A$que es poden formar amb les files 1 i 3 d'aquesta matriu tenim les matrius columna:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 10\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)$; ens eixen $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=15$ menors.

finalment, les files 2 i 3 ens donen les matrius columna:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 10\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ amb les que podem formar 15 menors més.

En total podem formar $15\cdot 3=45$ menors d'ordre 2. Però no és necesari que calculem tots els determinants. En calcular un d'ells que siga distint de zero, ja sabem que el rang de $A$ és igual o més gran que 2 i seguim el procés en els d'ordre 3.